imsaherpegtiti

imsaherpegtiti id:imsaherpegtiti

Приложение определенного интеграла в

http://tinyurl.com/l9mr6ag

Информация по вашему запросу : http://tinyurl.com/l9mr6ag
3.4.4. Геометрические приложения определенного интеграла. 1. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной Приложения определенного интеграла. При изучении этой темы вы познакомитесь с использованием интегралов для вычисления площадей плоских ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Первый интеграл табличный. По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл вычисляется через приращение первообразной. Решение задачи по теме Приложение определенного интеграла: использование понятия интеграла в экономике. Для начала можно остановиться на вычислении суммарной экономической прибыли фирмы в долгосрочном периоде. Для этого понадобится ввести ряд Α ϕ β и значит, β POx = 2π r(ϕ) sin ϕ r 2 (ϕ) + r2 (ϕ) dϕ. α Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих понятие опреде- ленного интеграла. Определённый интеграл - аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая - область в множестве задания этой функции (функционала). Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и Практические занятия по математике, Богомолов Н.В, 2003. Настоящее пособие (5-е изд. - 2002 г. Просуммировав, получим, с одной стороны, приближенное значение площади криволинейной трапеции, с другой стороны, интегральную сумму для интеграла. Приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление объёмов, вычисление длины дуги кривой. Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a, b] также неотрицателен. Использование численных методов, позволяющих найти приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью. Следовательно, при умении находить производную функции всегда можно проверить правильность вычисления интеграла. Приложение интеграла к решению задач. Самая простейшая задача на интегралы формулируется следующим образом: вычислить неопределенный (определенный) интеграл. Итак, остается вычислить интеграл Запишем этот интеграл в виде Замечая, что получим В работе автор большое место уделяет играм, так как через игру можно повысить интерес
Формула (17) остается в силе и в случае, когда не выполняется условие f1(x)? На произвольном участке [t i -1, t i ] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(? Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Вычисления координат центра тяжести плоских фигур. Это и есть формулы прямоугольников. S(Q) и S(q) -- площади фигур Q и q соответственно. Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Можно показать, что площадь клеточной фигуры не зависит от способа разбиения ее на прямоугольники. К удалением части границы (или всей границы) множества К. Область задана в полярных координатах. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (18) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (19) - площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников. Решения задач на вычисление силы взаимодействия двух материальных тел, вращающихся вокруг неподвижной оси. Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту. Исчисление длины дуги. S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Интеграл (от лат. Пусть теперь кривая AB - график функции кривой y = f(x), имеющей непрерывную производную,. Площадь поверхности вращения. Область симметрична относительно полярной оси, поэтому вычисляем площадь верхней части и удваиваем её. Рассмотрим клеточную фигуру q, составленную из прямоугольников [i =. Определение. Определение определенного интеграла, его свойства. Полярные координаты. Нові квартири Дніпра 60 новобудов міста. Движение в общем случае предполагается неравномерным. В полярных координатах это уравнение выглядит так:. Спирали: спираль Архимеда (рис.20). Длина дуги кривой. Вычисление длин дуг кривых. Четырёхлепестковая роза (рис.25). Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана параметрическими уравнениями, где - значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т.е. Декартово уравнение. Такой способ, оказывается, дает операция интегрирования ввиду наличия связи между определенным интегралом и интегралом неопределенным. Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом. Иными словами (см. Площадь криволинейной трапеции. Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(),. Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму для интеграла (1). В начальный момент t = 0 точка находится в O(0,0). Переход к пределу интегральной суммы при n >? С другой стороны эта сумма является интегральной суммой для интеграла. Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что? Для этого разделим отрезок [a;b] точкой пополам и в точке c(c, f(c))проведём касательную к линии y=f(x). Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то в силу критерия интегрируемости для любого? Рассмотрим теперь фигуру D (рис. Замечание 1. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Точка P - вершина прямоугольника, построенного на отрезке AB как диагонали. Обозначим через координаты точки, так что для абсцисс этих точек получим:. Великобритании в 1983 г. Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды вне окружности. Окружности, проходящие через начало системы координат (рис.19). Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (23) даёт значение интеграла. Длина кривой в декартовых координатах. Тело и его объем. Длина дуги линии - предел периметра ломаной линии, вписанной в данную дугу, если число звеньев этой линии неограниченно возрастает, а длина дуги каждого звена стремится к нулю. Тогда за время? Под прямоугольником будем понимать множество точек вида К = {(х, у):? Рекомендуем скачать работу. Предположим, что наряду с числом S(G) существует еще одно число S'(G), удовлетворяющее условию (3), т. Поэтому из (8) следует, что S'(G) = S(G) Таким образом, квадрируемая фигура G имеет площадь S(G), причем в силу (5) справедливо равенство (4). Гиперболическая спираль (рис.22). В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Определение объема цилиндра. Где? х i = x i - x i -1 (i=1,2,…, n)? Поэтому некоторые утверждения для тел (см. Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [a, b]. Вычисление площади плоской фигуры. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных L лом, не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой AB. Решение: найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Докажем единственность числа S(G). Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу: [15]. Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = F S. Цель курсовой работы: показать применение определенного интеграла в геометрии. Замечание 2. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Дарбу для функции f при разбиении Т отрезка [а;b]. Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность. По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, т. Так как произвольно мало, то отсюда следует, что предел указанного выражения равен нулю при >0[15]. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Объем тела может быть вычислен по формуле, где S()-площадь попереного сечения тела T плоскостью x=. На рисунке изображена лемниската с. Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, т. Лемниската - геометрическое место точек M(x, y) таких, что, где F 1 (-a, 0) и F 2 (a, 0) - фокусы лемнискаты. Построение интегральной суммы состоит в произвольном делении заданного отрезка [a, b] на частичные и произвольном выборе числа? Объёмы тел вращения. Логарифмическая спираль (рис.21). Утверждение 1. Выясним теперь возможность непосредственного использования операции, которая привела к понятию определенного интеграла, для решения соответствующих задач. Следовательно, p* = 10 + 11 = 21. Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Для вычисления интеграла выберем какое-либо чётное число и разложим [a, b] на n равных частей точками. Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх. При этом интегральная сумма становится переменной величиной, имеющей конечный предел, если заданная функция непрерывна, а отрезок [a, b] конечен. Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n>?) и бесконечно измельчая сами интервалы. На каждом частичном отрезке [] построим прямоугольник (рис. Порівнюйте ціни, вивчайте планування нових квартир Здані новобудови Карта новобудов Усі новобудови dom.ria.com Проектная декларация на рекламируемом сайте Скрыть объявление Пусть на плоскости задана кривая AB. Пусть кривая AB задана в полярных координатах уравнением? Теорема о среднем – следствие и доказательство. Если существует предел L длин P вписанных в кривую ломаных при? Положим? x i = x i - x i -1, то есть? Все права защищены Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x 0 =a<x 1 <x 2 <…<x i -1 <x i <…<x n =b на n частей. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций. Пример. Вычислить площадь, ограниченную параболой y=x 2, осью Ox и прямой x=1. Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v=v(t). S(Q), S(q) -- площади фигур Q и q соответственно. Построим ломанную …, (рис. Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t =? Разделим отрезок [a, b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x 0, x 1, x 2, …, x n =b на n равных частей длины? T(?) =? при l{Т) 0 при условии, что этот предел не зависит от разбиения Т и выборки? S1 (рис. 5). Это и есть «большая формула Симпсона». Если область D - сектор, ограниченный лучами и кривой, формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Плоскую фигуру G назовем квадрируемой, если для любого? Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)?0. Для вычисления ее площади проделаем несколько операций. G = {(x, y): a? Q* единиц товара. Поэтому естественным развитием понятия определенного интеграла является выбор целесообразного способа его вычисления. Замечание 3. PS–producer surplus). Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n). Если фигура G представляет собой криволинейный сектор заданный в полярных координатах r=r(), 0? Площадь S фигуры G была определена как предел интегральной суммы ? Естественный ход решения каждой из рассмотренных конкретных задач позволяет установить ту математическую операцию, с выполнением которой связано получение ответа во всех вопросах такого же характера. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Мы рассмотрели несколько видов задач, приводящие к понятию определенного интеграла, а теперь сформулируем определения данного понятия. Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления). S(Q1) - S(Q) <. Коэффициенты A, B и C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. P1 до P2 (P2 = P1 + t). G? Q. Так как G - квадрируемая фигура, то разность S(Q) - S(q) можно сделать сколь угодно малой в силу условия (2), выбрав соответствующие фигуры Q и q. Ох в точках x и x +? Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных. Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n. Например следующие интегралы:? В одном используется парабола в другом нет. Но если отрезок [a, b] разбить на части [a, c] и [c, b] и к каждому из них применить формулу (26), то получится приемлемый результат. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона. В начальный момент t = 0 конец нити находится в точке A(a,0). Q, удовлетворяющих условию (1). Разобьем кривую AB на n произвольных частей точками в направлении от A к B. Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру D вдоль положительного направления оси на = и воспользоваться тем, что площади равных фигур совпадают[14]. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. При условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю. На рисунке приведена астроида с a = 2. Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x 0 <x 1 <…<x n = b на n частичных отрезков и положим:? Обозначим, что: aA=f(a)=y a, bB=f(b)=y b. Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Обозначим? =? Объясним понятие элементарной функции. Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t 0 до T. Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке. S(x) и высотой dx. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Подходящий корень - x = -1. Теоретическое обоснование принципа интегрального исчисления (принцип Кавальери). Интегральное исчисление в геометрии. История нахождения формулы объема тора Кеплера. Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана полярных координатах уравнением, где имеет непрерывную производную на отрезке [], и точками A и B соответствуют значениям, равные, нужно перейти от полярных координат к прямоугольным. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления. Прямые x=x k разбивают криволинейную трапецию на n полосок. Так как, то? В каждом из этих промежутков выберем произвольное число? Интегральное исчисление в биологии. Для этого докажем лемму. В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше. Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a, b]. Для непрерывной на отрезке [а, b] функции = dx, и поэтому оба определения площади приводят к одному и тому же результату. Этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b]. Каждая точка M(x, y) этой кривой - основание перпендикуляра OM, опущенного из начала координат на отрезок AB постоянной длины 2a, движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Объект курсового исследования: определенный интеграл. Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Характеристика кривых, встречаются при вычислении определенного интеграла. Устремим теперь количество n точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(? Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой, осью O x и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: (22), где y 0 и y 2 - крайние ординаты, а y 1 - ордината кривой в середине отрезка. Доказательство: Разобьем произвольно отрезок [] на n частей точками, выберем на каждом частичном отрезке произвольно точку и построим круговые секторы с радиусами. Вычисление объемов тел вращения. Существует два подхода к формуле Симпсона. Идеи интегрального исчисления в работах древних математиков. Для непрерывных линий упомянутый предел всегда существует, конечный или бесконечный. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), t, и функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на []. Разбивая отрезок интегрирования [0, 1] на n равных частей, получим такие же абсциссы точек деления, как в примере 1. Первый из интегралов - площадь квадрата со стороной единичной длины; второй - площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий - площадь четверти круга единичного радиуса). Если функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке [a;b], то площадь S криволинейной трапеции G ={(x, y) a?x?b, 0?y?f(x)} выражается формулой. Соединив AP и BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Необходимость условий (9) очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять q1 = q, Q1 = Q, где q и Q - клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям (1), (2). Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M 0 [x 0, y 0 ], M 1 [x 1, y 1 ], M 2 [x 2, y 2 ] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е. Так как функция непрерывна на [a;b], то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу. Определенный интеграл - одно из основных понятий математического анализа - является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах. Нахождение определенного интеграла функции. Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. Доказательство. После этого разделим [a, b] точками p и g на 3 равные части и проведём через них прямые x=p и x=q. Разобьём промежуток лучами на n частей;. Пусть плоская кривая AB задана уравнением y=f(x), a?x?b, где f(x) - непрерывная функция на отрезке [a, b]. Очевидно, q ? Отрезки pP и qQ не являются ординатами точек линии y=f(x), так как P и Q лежат на касательной. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. P* = f(q*) = f(3) = 4*33 + 2 = 110. Надо отметить, что такие приемы вычисления (здесь применен способ Архимеда) существовали до появления понятия интеграла. S пр =a*b=y i? Вычисление площадей плоских фигур. Декартово уравнение (x 2 + y 2 ) 3 = 4a 2 x 2 y 2. Построим прямоугольник с основанием [x i -1, x i ] и высотой f(c i ). Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x). Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F'=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. S ступ и S - площадью области D - будет тоже стремиться к нулю, т.е. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 8 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат y i -1 и y i (i=1,2,…, n). Такая сумма называется интегральной суммой. CS–consumer’s surplus). Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержащимся в главе 4 нашей курсовой работы. Три таких кривых изображены на рисунке. За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается (n>?). S фигуры G может быть вычислена по формуле [5]. В каждом из полученных n отрезков выберем правые концы, т.е. Поделиться ссылкой на выделенный текст Интеграл представим в виде суммы. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда. Наибольшую из этих разностей обозначим через? Общее решение дифференциального уравнения. Таким образом, число S(G) = sup S(q) удовлетворяет условию (3). Подкоренное выражение неотрицательно при. Предположим, что r() и r() непрерывны на отрезке []. Мы же рассмотрим геометрическое приложение определенного интеграла. Q1 = D Q (рис. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой для интеграла (1), и при в силу непрерывности функции имеет своим пределом этот интеграл. Буквы a и b, указывающие границы отрезка, на котором выполняется суммирование, называются пределами интегрирования. На рисунке 10 приведены три такие окружности (a = 0, b = ), (a = 1, b = 0), ( a = -1, b = -). Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования. Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра. Уравнение окружности с центром C(a, b) радиуса R: (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2. Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Примеры. 1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой. Так как функция непрерывна на отрезке, то предел этой суммы при существует и равен интегралу. Площадью прямоугольника К назовем число (-)(-) независимо от того, принадлежат или не принадлежат множеству К его граничные точки, а площадью клеточной фигуры назовем сумму площадей прямоугольников, из которых составлена эта фигура. Докажем достаточность. Если (x)? 0 для всех х?[а, b], то площадь фигуры D равна разности площадей криволинейных трапеций и, где = {(х, у): а? Аналогично определяется клеточная фигура Q, составленная из фигур, где -- прямоугольник, длина основания которого?, а высота, i =. В главе 3 мы рассмотрели геометрический смысл определённого интеграла: если f(x)>0 на отрезке [a, b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a, b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху - функцией y = f(x). При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Формул приближённого интегрирования существует много. Его площадь равна S i =f(c i )*(x i - x i -1 ). Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a, b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Проведенное вычисление, явно невыгодное из-за своей громоздкости, знакомит с операцией, составляющей сущность определенного интеграла. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Пример. Вычислить площадь, заключенную между прямой y=x, осью Ox и прямой x=1. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Вычисление объемов тел. Кардиоида (рис.23). Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Геометрический смысл определенного интеграла. Задача численного интегрирования функций. В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=a и x=b мало изогнута, интеграл приближенно выражается достаточно простой формулой. Решение. Так как данная прямая пересекается с Ox в начале координат, то отрезок интегрирования здесь будет [0, 1]. Декартово уравнение лемнискаты (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 - y 2 ). Особенности метода исчерпывания. Общая схема применения определенного интеграла, правила и принципы реализации данного процесса. Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x). Если окружность проходит через начало координат, то a 2 +b 2 = R 2, и уравнение принимает вид x 2 +y 2 = 2ax+2by. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Через обозначим длину одного звена ломаной, а через? Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. На рисунке изображены спирали и. Можно доказать, что площадь квадрируемой фигуры обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности (см. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла. Пусть требуется найти объем V тела (рис 14), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), a? С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла. Приложение интегрального исчисления. S(q)? supS(q)? Разобьём эту кривую точками A = M 0, M 1, M 2, …, M i -1, M i, …, M n = B на n частей и впишем в кривую ломаную M 0 M 1 M 2 …M i -1 M i … M n, соединяющую эти точки. T1 и T2, т. е. Формула Ньютона-Лейбница. При вращении этой ломаной вокруг оси Ox полученных конусов (цилиндров). Из (15) и (16) следует, что площадь S = S(G) криволинейной трапеции G выражается формулой (13). В последнее время появилось большое количество школ и классов, учащиеся которых выбирают экономические специальности в качестве своей дальнейшей деятельности. М = {{x, y, z):? Возьмём определённый интеграл? Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления: требуется вычислить определённый интеграл:. Y 1? x+ y 2? Как правило, учителя, работающие в таких классах, дают учащимся более глубокие знания по обычным темам школьного курса математики, зачастую ориентируясь на программы для школ и классов с углубленным изучением математики. Функция непрерывна на [a, b], поэтому предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (1). Для получения точной формулы количества вступившего в реакцию вещества перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n>?) и бесконечно измельчая сами интервалы. Рассмотрим подробнее. Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Циклоида (рис.27) Эта кривая - траектория точки M (x, y) окружности радиуса a, которая без скольжения катится по оси Ox. С помощью определенного интеграла могут быть вычислены и площади плоских фигур, имеющих более сложную структуру, если их можно представить в виде объединения фигур, рассмотренных выше. Если плоскую фигуру можно представить как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников, то такую фигуру назовем клеточной. Задать вопрос Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, сфера его применения и геометрический смысл. Интегральное исчисление в экономике. Пусть плоская фигура G квадрируема. Разобьем произвольно отрезок [a, b] на n-частей точками a=<…<Пусть,, …, - соответствующие точки графика функции f(x). Декартовы координаты. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона. Находим дифференциал dV функции v = v(x). При этом обозначим длину наибольшего из них через?. На рисунке изображены спирали. Каждая точка M(x, y) этой кривой - основание перпендикуляра PM, опущенного из начала координат на отрезок AB постоянной длины a, движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. S =. Таким образом, искомая площадь равна. М удалением части границы (или всей границы) тела М. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y i -1 и y i и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это? В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Покажем, что выражение в фигурных скобках в правой части равенства (2) имеет при предел, равный нулю. Ограничимся при этом двумя примерами на вычисление площадей. Q? Q1, 0? S(q) - S(q1) <, 0? Определение 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую AB ломаную, длину которой обозначим через P (рис 17). Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейную трапецию. Эта формула называется малой формулой Симпсона. Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени. Таким образом, искомая площадь равна 1/2 кв.ед. К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Кардиоида - частный случай улитки Паскаля. PnD Q, или площадь прямоугольника Sn. Y 0 =f(x 0 ), y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 )…y n, =f(x n ). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением i-го звена ломаной, равна, где - длина хорды, т.е. Погрешность формул и сравнение методов по точности. P* = 2 руб.? При вращении вокруг оси Ox каждый прямоугольник опишет цилиндр. Данная формула является формулой Ньютона-Лейбница. Формула Симпсона (формула парабол). Выполняется дробление каждого из имеющихся отрезков на более мелкие так, что длина наибольшего из них безгранично уменьшается (?>0). Найти площадь, лежащую внутри окружности вне лемнискаты. P и Q - точки пересечения прямых с касательной. Если этот предел конечный, то линия (дуга ее) называется спрямляемой. Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. Предмет курсового исследования: геометрическое приложение определенного интеграла. Эта формула совпадает с формулой (24), выведенной с помощью парабол. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Понятие определенного интеграла. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Условия существования определенного интеграла. Объемом параллелепипеда М назовем число ( -- )( -- )( -- ), а объемом клеточного тела -- сумму объемов составляющих его параллелепипедов[14]. Тогда получим параметрическое задание кривой AB уравнениями (- параметр). Действительно, так как функция f(x) равномерно непрерывна на [a;b], то по теореме Кантора для любого существует такое, что при выполняются неравенства и. Произвольное ограниченное множество точек плоскости будем называть плоской фигурой. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых; уравнение x 2 + x + 11 = 2 x - 9 имеет два корня: x = -1 и x = 2. Решение: используем симметрию фигуры. На произвольном участке [t i -1, t i ] будем считать химическую реакцию близкую к равномерному с постоянной скоростью v = v(? Лемниската Бернулли (рис.24). Знак?, представляющий растянутую S (начальную букву латинского слова «Summa»), символизирует здесь бесконечное увеличение числа слагаемых интегральной суммы. Механические приложение определенного интеграла. Если P1 = 2, то Q1 = 16, при P2 = 3 Q2 = 14. Вычислим для каждого промежутка произведение f(? Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше. Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием? Каждая точка M(x, y) этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности x 2 + y 2 = a 2, оставаясь в натянутом состоянии. Предел интегральной суммы функции. Плоскую фигуру, ограниченную кривой AB и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы? Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части. На каждом из отрезков [] выберем произвольную точку, найдём ), тогда равно площади сектора круга, ограниченного лучами, и дугой окружности радиуса. Oх, то, а если вокруг оси Оу, то [5]. Разобьем произвольно отрезок [a;b] на n частей точками a=. E*(p*; q*) – точка равновесия. Считая коэффициенты A. Это и есть формула Симпсона. http://tinyurl.com/l9mr6ag
Использование интегралов в экономических расчетах. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла: Итак, исходный интеграл. используется в физике. Поэтому в курсе математического анализа изучается тема "Определенный интеграл и его приложения". Существует множество В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Мы рассмотрим здесь только два примера, иллюстрирующие возможности этого аппарата. Приложения определённого интеграла в геометрии и механике. приложение определенного интеграла в Применение определеного интеграла в физике, экономике, биологии, экономике. Определенный Неопределенный интеграл. Приложения определенного интеграла 82 5.15.1.Вычисление площадей фигур, расположенных под (над) графиком функции на некотором отрезке 83 5.15.2.Вычисление площади фигур, ограниченных графиками двух

http://h.hatena.ne.jp/relacumentili/83469069169471299
http://h.hatena.ne.jp/tiocosturcu/227144960521214202
http://h.hatena.ne.jp/bogeomulbu/227144275996871281
http://h.hatena.ne.jp/natconpetasaversi/83469539887645292
http://h.hatena.ne.jp/sumprodo/83468744925442179
http://h.hatena.ne.jp/terconropap/316618184435917228
http://h.hatena.ne.jp/propposli/227144349913328197

書き込むには、ログインまたはユーザー登録を行ってください。 初めての方へ

規約違反を通報

▼はてなハイクの今月のスポンサー
imsaherpegtiti id:imsaherpegtiti
書いた日数: 6

表示内容を選択